Kurvendiskussion
verstehen & üben.
Alle Methoden Schritt für Schritt erklärt – mit interaktiven Graphen, Schiebereglern und echten Prüfungsaufgaben aus den Jahren 2019 – 2023. Damit du am Prüfungstag jede Teilaufgabe schon einmal gesehen hast.
Tipp: Klicke oben auf f′ und f″, um die Ableitungen einzublenden.
Die Standard-Reihenfolge
Wenn die Aufgabe lautet „Führen Sie eine Kurvendiskussion durch", arbeitest du am besten in dieser Reihenfolge. In der Schulaufgabe werden meist nur einzelne Punkte abgefragt – die Reihenfolge bleibt trotzdem wichtig, weil die Schritte aufeinander aufbauen.
Definitionsbereich $D_f$
Der Definitionsbereich ist die Menge aller $x$-Werte, für die die Funktion überhaupt berechenbar ist. Bei ganzrationalen Funktionen (Polynomen) gibt es nie ein Problem – erst Brüche, Wurzeln und Logarithmen schränken ein.
| Funktionstyp | Einschränkung | Beispiel |
|---|---|---|
| Ganzrational (Polynom) | keine → $D_f = \mathbb{R}$ | $f(x) = x^3 - 2x$ |
| Gebrochen-rational | Nenner $\neq 0$ | $\tfrac{1}{x-3}$ → $\mathbb{R}\setminus\{3\}$ |
| Wurzel | Radikand $\geq 0$ | $\sqrt{x-2}$ → $[2;\infty[$ |
| Logarithmus | Argument $> 0$ | $\ln(x)$ → $]0;\infty[$ |
Bei $x = 3$ wird der Nenner null – dort ist die Funktion nicht definiert (Lücke / Polstelle). Also $D_f = \mathbb{R}\setminus\{3\}$.
Die freien Stellplätze einer Parkgarage werden für $6{:}00$ bis $20{:}00$ Uhr durch $f(t) = t^3 - 12t^2 - 27t + 578$ beschrieben ($t$ in Stunden ab 6 Uhr). Gib einen sinnvollen Definitionsbereich an.
Die Garage ist von $6{:}00$ Uhr ($t=0$) bis $20{:}00$ Uhr ($t=14$) geöffnet. Außerhalb dieser Zeit hat die Funktion keine Bedeutung.
Nullstellen
Nullstellen sind die $x$-Werte, an denen der Graph die x-Achse schneidet oder berührt. Du suchst also alle Lösungen von $f(x) = 0$.
Lösungsmethoden – in dieser Reihenfolge ausprobieren:
$$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$Die Diskriminante $D = b^2 - 4ac$ verrät die Anzahl der Lösungen: $D>0$ → zwei, $D=0$ → eine, $D<0$ → keine.
Beispiel · durch Ausklammern
Gesucht sind die Nullstellen von $f(x) = x^3 - 4x^2 + 3x$.
Vielfachheit – wie verhält sich der Graph?
| Vielfachheit | Verhalten am Graph |
|---|---|
| einfach | schneidet die x-Achse (Vorzeichenwechsel) |
| doppelt | berührt die x-Achse (Tangentialkontakt, kein VZW) |
| dreifach | Sattelpunkt auf der x-Achse (Terrassenpunkt) |
Polynomdivision – wenn nichts mehr ausklammern geht
Lässt sich $f(x) = 0$ nicht mit Ausklammern, Mitternachtsformel oder Substitution lösen, hilft die Polynomdivision. Das Prinzip in drei Schritten:
So rechnest du die Division:
| x³ | − 2x² | − 5x | + 6 | |
| −( | x³ | − x² | ) | |
| − x² | − 5x | |||
| −( | − x² | + x | ) | |
| − 6x | + 6 | |||
| −( | − 6x | + 6 ) | ||
| 0 |
Rest $0$ → die Division geht auf. Bleibt ein Rest, hast du falsch geraten oder gerechnet.
Schritt für Schritt
Die drei gefundenen Nullstellen $-2,\ 1,\ 3$ liest du auch direkt am Graphen ab.
Berechne alle Nullstellen von $f(x) = x^3 - 7x + 6$. (Tipp: rate zuerst eine ganzzahlige Nullstelle.)
Raten: $f(1) = 1 - 7 + 6 = 0$ ✓ → Faktor $(x-1)$.
Polynomdivision $(x^3 - 7x + 6) : (x-1) = x^2 + x - 6$. Restpolynom: $x^2 + x - 6 = (x+3)(x-2) = 0$.
Gib die Nullstellen von $f(x) = \tfrac{3}{25}\, x\,(x-2)(x+3)^2$ mit ihrer jeweiligen Vielfachheit an.
Die Funktion ist bereits faktorisiert → Satz vom Nullprodukt: jeden Faktor null setzen.
$x = 0$ und $x-2 = 0$ liefern einfache Nullstellen. Der Faktor $(x+3)^2$ ist quadratisch → doppelte Nullstelle.
Berechne alle Nullstellen von $f(x) = -\tfrac{2}{15}(x^4 - 10x^3 + 24x^2)$ und gib ihre Vielfachheit an.
$x^2$ ausklammern: $-\tfrac{2}{15}\,x^2(x^2 - 10x + 24) = 0$. Restklammer mit der Mitternachtsformel ($a{=}1,\,b{=}{-}10,\,c{=}24$): $x = \dfrac{10 \pm \sqrt{100 - 96}}{2} = \dfrac{10 \pm 2}{2} \Rightarrow x = 4$ oder $x = 6$.
y-Achsenabschnitt
Setze einfach $x = 0$ in $f(x)$ ein. Das Ergebnis ist der Schnittpunkt $S_y\,(0 \mid f(0))$.
Gib den Schnittpunkt von $f(x) = \tfrac{1}{4}(x^4 - 6x^2 - 8x + 2)$ mit der y-Achse an.
$x = 0$ einsetzen: $f(0) = \tfrac{1}{4}\cdot 2 = \tfrac{1}{2}$.
Symmetrie
Achsensymmetrie zur y-Achse: $\;f(-x) = f(x)$ · Punktsymmetrie zum Ursprung: $\;f(-x) = -f(x)$.
Schnelltest bei Polynomen
| Das Polynom enthält … | Symmetrie |
|---|---|
| nur gerade Exponenten (inkl. Konstante) | achsensymmetrisch zur y-Achse |
| nur ungerade Exponenten, keine Konstante | punktsymmetrisch zum Ursprung |
| beides gemischt | weder noch |
f(x) = −x⁴ + 4x² spiegelt an der y-Achse · g(x) = −0,1x³ + 2,5x ist punktsymmetrisch zum Ursprung.
Rechnerischer Nachweis (wenn verlangt)
Berechne $f(-x)$ und vergleiche mit $f(x)$ bzw. $-f(x)$. Beispiel $f(x) = -0{,}5x^3 + 3x^2 - 4{,}5x + 2$:
Gib die Symmetrieeigenschaften von $f(x) = -0{,}1x^3 + 2{,}5x$ an und begründe.
Zeige durch Rechnung, dass $f(x) = -0{,}5x^3 + 3x^2 - 4{,}5x + 2$ weder achsen- noch punktsymmetrisch ist.
$f(-x) = 0{,}5x^3 + 3x^2 + 4{,}5x + 2$. Das ist weder gleich $f(x)$ noch gleich $-f(x)$ → Behauptung gezeigt. (Schon der gemischte Funktionsterm verrät: keine Symmetrie.)
Globalverhalten
Gefragt ist, wohin $f(x)$ für $x \to -\infty$ und $x \to +\infty$ strebt. Bei ganzrationalen Funktionen entscheidet nur der Term mit dem höchsten Exponenten (der Leitterm $a\,x^n$).
| Leitkoeffizient $a$ | $n$ gerade | $n$ ungerade |
|---|---|---|
| $a > 0$ | von $+\infty$ nach $+\infty$ („U") | von $-\infty$ nach $+\infty$ („/") |
| $a < 0$ | von $-\infty$ nach $-\infty$ („∩") | von $+\infty$ nach $-\infty$ („\\") |
Ziehe an a und n und beobachte, wie sich die Enden des Graphen drehen.
Schreibweise. $\displaystyle \lim_{x \to -\infty} f(x) = \pm\infty \qquad \lim_{x \to +\infty} f(x) = \pm\infty$. Beispiel $f(x) = -0{,}5x^3 + \dots$ : $a = -0{,}5 < 0$, $n = 3$ ungerade $\Rightarrow \lim_{x\to-\infty} = +\infty,\ \lim_{x\to+\infty} = -\infty$.
Gib das Verhalten von $f(x) = \tfrac{1}{4}(x^4 - 6x^2 - 8x + 2)$ für $x \to -\infty$ und $x \to +\infty$ an.
Leitterm $\tfrac{1}{4}x^4$: $a = \tfrac14 > 0$, Grad $4$ gerade → beide Enden nach oben.
Ableitungen bilden
Meist $f'(x)$ und $f''(x)$, manchmal $f'''(x)$. Die wichtigsten Regeln für die Schulaufgabe:
| Funktion | Ableitung |
|---|---|
| $f(x) = c$ (Konstante) | $f'(x) = 0$ |
| $f(x) = x^n$ | $f'(x) = n\cdot x^{n-1}$ |
| $f(x) = a\cdot x^n$ | $f'(x) = a\cdot n\cdot x^{n-1}$ |
| $f(x) = g(x) + h(x)$ | $f'(x) = g'(x) + h'(x)$ |
$f'(x) = -1{,}5x^2 + 6x - 4{,}5$ · $f''(x) = -3x + 6$ · $f'''(x) = -3$
Da, wo f′ die x-Achse schneidet, hat f eine waagerechte Tangente (Extrempunkt).
Zwei Extrempunkte …
Bilde die erste Ableitung von $g(x) = \tfrac{1}{50}x^3 - \tfrac{4}{5}x^2 + 8x$.
Jeden Summanden einzeln ableiten: $\tfrac{3}{50}x^2 - \tfrac{8}{5}x + 8$, also $0{,}06x^2 - 1{,}6x + 8$.
Monotonie
| Vorzeichen von $f'(x)$ | Monotonie von $f$ |
|---|---|
| $f'(x) > 0$ | streng monoton steigend ↗ |
| $f'(x) < 0$ | streng monoton fallend ↘ |
Interaktive Vorzeichentabelle
Für $f'(x) = -1{,}5x^2 + 6x - 4{,}5 = 0$ erhältst du $x_1 = 1$ und $x_2 = 3$. Diese teilen die x-Achse in drei Intervalle. Setze in jedem einen Testwert ein – tippe auf die ?-Felder.
| Intervall | $]{-}\infty;\,1[$ | $]1;\,3[$ | $]3;\,\infty[$ |
|---|---|---|---|
| Testwert $x$ | 0 | 2 | 4 |
| $f'(\text{Testwert})$ | −4,5 | 1,5 | −4,5 |
| Vorzeichen | ? | ? | ? |
| Monotonie | fallend ↘ | steigend ↗ | fallend ↘ |
fallend · steigend
Ermittle die maximalen Monotonieintervalle von $f(x) = -0{,}5x^3 + 3x^2 - 4{,}5x + 2$.
$f'(x) = -1{,}5x^2 + 6x - 4{,}5 = 0 \Rightarrow x_1 = 1,\ x_2 = 3$. VZT (siehe oben):
Extrempunkte
Notwendige Bedingung: $f'(x_E) = 0$ (waagerechte Tangente). Das muss gelten, reicht aber allein nicht.
| Hinreichend · 2. Ableitung | Art |
|---|---|
| $f''(x_E) < 0$ | Hochpunkt (HOP) |
| $f''(x_E) > 0$ | Tiefpunkt (TIP) |
| $f''(x_E) = 0$ | unentschieden → mit VZW prüfen! |
Beispiel · $f(x) = x^3 - 3x^2$
Bestimme Art und Koordinaten der relativen Extrempunkte von $f(x) = -\tfrac{2}{5}x^3 - \tfrac{9}{5}x^2 + \tfrac{27}{5}$.
$f'(x) = -1{,}2x^2 - 3{,}6x = 0 \Rightarrow x_1 = 0,\ x_2 = -3$. Mit $f''(x) = -2{,}4x - 3{,}6$:
$f''(0) = -3{,}6 < 0$ → Hochpunkt; $f''(-3) = 3{,}6 > 0$ → Tiefpunkt.
Bestimme Art und Koordinaten der relativen Extrempunkte von $f(x) = 0{,}25x^3 - 1{,}5x^2 + 2x$ (auf zwei Nachkommastellen).
$f'(x) = 0{,}75x^2 - 3x + 2 = 0 \Rightarrow x_1 \approx 0{,}85,\ x_2 \approx 3{,}15$. Mit $f''(x) = 1{,}5x - 3$:
$f''(0{,}85) < 0$ → Hochpunkt; $f''(3{,}15) > 0$ → Tiefpunkt.
Krümmung
Bilde $f''(x)$, setze $f''(x) = 0$ (mögliche Wendestellen) und lege eine VZT der 2. Ableitung an.
| Vorzeichen von $f''(x)$ | Krümmung |
|---|---|
| $f''(x) > 0$ | linksgekrümmt (Linkskurve, „lacht" ∪) |
| $f''(x) < 0$ | rechtsgekrümmt (Rechtskurve, „weint" ∩) |
rechtsgekrümmt ($f'' < 0$) · linksgekrümmt ($f'' > 0$). Bei $x = 1$ wechselt die Krümmung → Wendepunkt.
Ermittle die maximalen Krümmungsintervalle von $f(x) = -\tfrac{1}{4}x^4 + 2x^2 + 2$ und die Wendepunkte.
$f''(x) = -3x^2 + 4 = 0 \Rightarrow x_{1/2} = \pm\tfrac{2\sqrt3}{3} \approx \pm 1{,}15$.
rechtsgekrümmt für $x \in\,]{-}\infty;\,-1{,}15]$ und $[1{,}15;\,\infty[$; linksgekrümmt für $x \in [-1{,}15;\,1{,}15]$.
Wendepunkte
Notwendig: $f''(x_W) = 0$. Hinreichend: $f''(x_W) = 0$ und $f'''(x_W) \neq 0$ (oder ein Vorzeichenwechsel von $f''$). Den $y$-Wert wieder mit $f(x)$ berechnen.
Untersuche das Krümmungsverhalten von $f(x) = -\tfrac{2}{15}(x^4 - 10x^3 + 24x^2)$ und bestimme die Wendepunkte.
$f''(x) = -\tfrac{2}{15}(12x^2 - 60x + 48) = 0 \Rightarrow x_1 = 1,\ x_2 = 4$. Krümmung wechselt jeweils (VZT).
Bestimme die Wendetangente $w$ von $f(x) = -0{,}5x^3 + 3x^2 - 4{,}5x + 2$ im Wendepunkt $\text{WEP}(2 \mid f(2))$.
$f(2) = 1 \Rightarrow \text{WEP}(2 \mid 1)$. Steigung $m = f'(2) = 1{,}5$. Einsetzen in $w(x) = m x + t$: $1 = 1{,}5 \cdot 2 + t \Rightarrow t = -2$.
Wertemenge
Hängt von Grad und Leitkoeffizient ab:
| Funktion | Wertemenge |
|---|---|
| Polynom ungeraden Grades (3., 5., …) | $W = \mathbb{R}$ |
| geraden Grades, Leitkoef. $> 0$ | $W = [\,y_{\min};\,\infty[$ (unterster Tiefpunkt) |
| geraden Grades, Leitkoef. $< 0$ | $W = \,]{-}\infty;\,y_{\max}]$ (oberster Hochpunkt) |
| Parabel nach oben, TIP $(x_0\mid y_0)$ | $W = [\,y_0;\,\infty[$ |
Zwei Beispiele
$f(x) = x^3 - 3x^2$ hat ungeraden Grad → $W = \mathbb{R}$.
$g(x) = -x^4 + 4x^2$ hat geraden Grad mit Leitkoef. $< 0$ und höchstem Hochpunkt bei $y = 4$ → $W = \,]{-}\infty;\,4]$.
Gib die Wertemenge von $f(x) = -x^4 + 4x^2$ an. (Hochpunkte bei $y = 4$, Tiefpunkt bei $y = 0$.)
Gerader Grad, Leitkoef. $-1 < 0$ → der Graph ist nach unten geöffnet, höchster Wert ist der oberste Hochpunkt $y = 4$.
Komplette Kurvendiskussion
Zum Abschluss alle Schritte an einer einzigen Funktion: $f(x) = x^3 - 3x^2$ mit $D_f = \mathbb{R}$. Blende im Graphen ruhig $f'$ und $f''$ ein und vergleiche mit der Tabelle.
| Frage | Antwort |
|---|---|
| Definitionsbereich | $D_f = \mathbb{R}$ |
| Symmetrie | weder noch (gerade + ungerade Exponenten) |
| Globalverhalten | $\lim\limits_{x\to-\infty} = -\infty;\ \lim\limits_{x\to+\infty} = +\infty$ |
| Nullstellen | $x^2(x-3)=0 \Rightarrow x_{1/2}=0$ (doppelt), $x_3 = 3$ |
| y-Achsenabschnitt | $f(0) = 0 \Rightarrow S_y(0\mid 0)$ |
| 1. Ableitung | $f'(x) = 3x^2 - 6x = 3x(x-2)$ |
| Extrempunkte | $\text{HOP}(0\mid 0)$, $\text{TIP}(2\mid -4)$ |
| Monotonie | steigend in $]{-}\infty;0]$ und $[2;\infty[$; fallend in $[0;2]$ |
| Wendepunkt | $f''(x)=6x-6=0 \Rightarrow \text{WEP}(1\mid -2)$ |
| Krümmung | rechtsgekrümmt in $]{-}\infty;1]$, linksgekrümmt in $[1;\infty[$ |
| Wertemenge | $W = \mathbb{R}$ (ungerader Grad) |
Polynomdivision üben
Hier gehst du alle Fälle der Polynomdivision durch – jeweils drei mittelschwere Aufgaben. Öffne die Lösung und klicke dich mit „Nächster Schritt“ durch den Rechenweg. Oben in jeder Lösung siehst du außerdem das ausgerichtete Rechenschema.
Alle Prüfungsaufgaben
Hier findest du jede Aufgabe aus fünf Prüfungsjahren – mit interaktivem Graphen und ausklappbarer Lösung. Öffne eine Lösung und klicke dich mit „Nächster Schritt“ durch den Rechenweg, oder zeige gleich alle Schritte. Reine Zeichen-Teilaufgaben verweisen auf den Graphen darüber.